Matematika ASIX!!: Penyelesaian SPLDV

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dapat dilakukan dengan 2 cara:

1. Metode invers

Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel berikut:

ax + by = p

cx + dy = q

Sistem persamaan linear dua variabel tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks seperti di bawah ini:

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$

Persamaan matriks di atas dapat diselesaikan dengan sifat matriks berikut:

Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:

Dari uraian tersebut, dapat kita simpulkan bahwa:

Contoh soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks.

3x − 2y = 52

x + y = 8

Jawab:

Mula-mula, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut:

$\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

Kemudian, tentukan penyelesaiannya dengan menggunakan invers matriks seperti berikut:

$\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 &-2 \\ 2 &1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{3.1-(-2.2)}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix} 21\\ 14 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}$

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah {3,2}

2. Metode determinan (aturan cramer)

Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel berikut:

ax + by = p

cx + dy = q

Jika disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$

Misalkan:

$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$

Nilai x dan y dapat ditentukan dengan aturan Cramer berikut:

$X =\frac{D_{x}}{D}$ dan $Y =\frac{D_{y}}{D}$

Keterangan:

D = ad−bc , adalah determinan matriks A.

Dx = pd−qb , adalah determinan matriks A yang kolom pertamanya diganti dengan elemen matriks B.

Dy = aq−cp , adalah determinan matriks A yang kolom keduanya diganti dengan elemen matriks B.

Contoh soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode determinan.

x + 5y = -13

4x - 6y = 24

Jawab:

Mula-mula, nyatakan SPLDV tersebut dalam bentuk matriks berikut:

$\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -13\\ 24 \end{bmatrix}$

Kemudian, tentukan D, Dx, dan Dy:

$D=\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 4 & -6 \end{vmatrix}=1.(-6)-5.4=-26$

$D_{x}=\begin{vmatrix} -13 & 5\\ 24 & -6 \end{vmatrix}=-13.(-6)-5.24=-42$ $D_{y}=\begin{vmatrix} 1 & -13\\ 4 & 24 \end{vmatrix}=1.24-(-13).4=76$

Dengan menggunakan aturan Cramer, nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut.

$x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{-42}{-26}=\frac{21}{13}$

$y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{76}{-26}=\frac{19}{9}$

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah $\left \{ \frac{21}{13},\frac{19}{9} \right \}$

sumber: http://halamanpendahuluanapk.blogspot.co.id/2016/01/kegiatan-belajar-i.html

Matematika ASIX!!

Senin, 30 Oktober 2017

Penyelesaian SPLDV

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Arsip Blog